Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- reverseenengineering:2-система [2025/07/04 14:36] – [Преимущества десятичной позиционной системы] Lex
+++ reverseenengineering:2-система [2025/07/04 14:47] (текущий) – [Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные] Lex
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-====== Десятичная система счисления ======
+====== Двоичная система счисления ======
-> Десятичная система счисления — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Одна из наиболее распространённых систем. В ней используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, называемые арабскими цифрами. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев на руках у человека.
+> Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах.
-> Один десятичный разряд называется децит (decit) (сокращение от decimal digit).
+===== Двоичная запись чисел =====
-===== Определение =====
+> В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 5(10), в двоичной 101(2). Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b или символом & (амперсанд), например 0b101 или соответственно &101.
-> Один десятичный разряд в десятичной системе счисления (децит) иногда называют декадой. В цифровой электронике одному десятичному разряду десятичной системы счисления (дециту) соответствует один десятичный триггер.
+> В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 101(2) произносится «один ноль один».
-===== Двоично-десятичное кодирование =====
+===== Преобразование чисел =====
-> В двоичных компьютерах применяют двоично-десятичное кодирование десятичных цифр, при этом для одной двоично-десятичной цифры отводится четыре двоичных разряда (двоичная тетрада). Двоично-десятичные числа требуют большего количества битов для своего хранения. Так, четыре двоичных разряда имеют 16 состояний, и при двоично-десятичном кодировании 6 из 16 состояний двоичной тетрады не используются.
+> Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:
-===== Сложение в десятичной системе счисления =====
-> Одноразрядное двухоперандное (двухаргументное) десятичное сложение является одной из 10 в 200-ой стемени бинарных (двухаргументных, двухоперандных, двухвходовых) десятичных логических функций с бинарным (двухразрядным) результатом, имеющей кроме собственного номера и собственное название словами: "одноразрядный десятичный полусумматор".
+	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
-> Одноразрядное двухоперандное (двухаргументное) десятичное сложение можно также представить, как комбинацию (объединение двух) бинарных (двухаргументных, двухоперандных, двухвходовых) десятичных логических функцией с унарным (одноразрядным) результатом, имеющих кроме собственных номеров и собственные названия словами: "одноразрядное десятичное бинарное сложение по модулю 10" и "единица переноса в следующий разряд при одноразрядном десятичном бинарном сложении".
+> Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.
-> Номер функции "одноразрядное десятичное бинарное сложение по модулю 10" содержит все значения функции при переборе значений аргументов от 0 до 9 и относительно просто получается из таблицы десятичного полусумматора: 8765432109 7654321098 6543210987 5432109876 4321098765 3210987654 2109876543 1098765432 0987654321 9876543210 (пробелы отделяют по 10 знаков в номере функции).
+==== Преобразование двоичных чисел в десятичные: ====
-> Номер функции "единица переноса в следующий разряд при одноразрядном десятичном бинарном сложении" содержит все значения функции при переборе значений аргументов от 0 до 9 и тоже относительно просто получается из таблицы десятичного полусумматора: 1111111110 1111111100 1111111000 1111110000 1111100000 1111000000 1110000000 1100000000 1000000000 0000000000 (пробелы отделяют по 10 знаков в номере функции).
+> Допустим, дано двоичное число 110001(2). Для перевода в десятичное запишите его как сумму по разрядам следующим образом:
-===== Умножение в десятичной системе счисления =====
+* 25 + 1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 49
-> Одноразрядное двухоперандное (двухаргументное) десятичное умножение является одной из 10 в 200-ой стемени бинарных (двухаргументных, двухоперандных, двухвходовых) десятичных логических функций с бинарным (двухразрядным) результатом, имеющей кроме собственного номера и собственное название словами: "одноразрядный десятичный умножитель".
+> То же самое чуть иначе:
+* 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49
+> Можно записать это в виде таблицы следующим образом:
+	256	128	64	32	16	8	4	2	1
+	1	0	0	0	1
+                                +32	+16	+0	+0	+0	+1
+> Двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 110001(2) равнозначно десятичному 49(10).
+===== Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные =====
+> Нужно перевести число 1011010,101(2) в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:
+* 26 + 0 * 25 + 1 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 + 1 * 2−1 + 0 * 2−2 + 1 * 2−3 = 90,625
+> То же самое чуть иначе:
+* 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1 + 1 * 0,5 + 0 * 0,25 + 1 * 0,125 = 90,625
+> Или по таблице:
+	32	16	8	4	2	1		0.5	0.25	0.125
+	0	1	1	0	1	0	,	1	0	1
+   +64	+0	+16	+8	+0	+2	+0		+0.5	+0	+0.125
+===== Преобразование методом Горнера =====
+> Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Методом Горнера обычно переводят из двоичной в десятичную систему. Обратная операция затруднительна, так как требует навыков сложения и умножения в двоичной системе счисления.
+===== Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные =====
+> Если в исходном числе есть целая часть, то она преобразуется отдельно от дробной. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:
+  * Дробь умножается на основание двоичной системы счисления (2);
+  * В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве старшего разряда числа в двоичной системе счисления;
+  * Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над дробной частью произведения.
+> Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.
+> Перевод целой части дает 20610=110011102 по ранее описанным алгоритмам.
+===== Применения в цифровых устройствах =====
+> Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:
+> Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
+> Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора,
+> В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде. Например, число −5(10) может быть записано как −101(2) но в 32-битном компьютере будет храниться как 11111111111111111111111111111011(2).
-> Одноразрядный двухоперандный (двухаргументный) десятичный умножитель можно также представить, как комбинацию (объединение двух) бинарных (двухаргументных, двухоперандных, двухвходовых) десятичных логических функцией с унарным (одноразрядным) результатом, имеющих кроме собственных номеров и собственные названия словами: "младший разряд одноразрядного десятичного бинарного умножения" и "старший разряд одноразрядного десятичного бинарного умножения".
-> Номер функции "младший разряд одноразрядного десятичного бинарного умножения" содержит все значения функции при переборе значений аргументов от 0 до 9 и относительно просто получается из таблицы десятичного умножения: 1234567890 2468024680 3692581470 4826048260 5050505050 6284062840 7418529630 8642086420 9876543210 0000000000 (пробелы отделяют по 10 знаков в номере функции).
-> Номер функции "старший разряд одноразрядного десятичного бинарного умножения" содержит все значения функции при переборе значений аргументов от 0 до 9 и тоже относительно просто получается из таблицы десятичного умножения: 8765432100 7654432100 6544322100 5443321100 4433221100 3322211000 2221110000 1111100000 0000000000 0000000000 (пробелы отделяют по 10 знаков в номере функции).
-===== Преимущества десятичной позиционной системы =====
-> Реализованная с помощью индоарабских цифр десятичная позиционная система счисления постепенно вытеснила римские цифры и другие непозиционные системы нумерации благодаря множеству несомненных преимуществ[8].
-  * Индийская запись чисел компактнее римской и позволяет быстро сравнивать разные числа по величине.
-  * При расчётах на абаке можно одновременно записывать числа и проводить расчёты.
-  * Вычисления стало возможно проводить без абака, на бумаге. Появились новые, более простые методы умножения и деления, специально рассчитанные на индоарабские цифры.
-  * Вычислительная математика и математика вообще получили мощный импульс к развитию. Например, трудно представить изобретение логарифмов без индоарабских цифр.
-  * Появилась возможность создания счётных машин.