В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 5(10), в двоичной 101(2). Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b или символом & (амперсанд), например 0b101 или соответственно &101.
В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 101(2) произносится «один ноль один».
Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:
1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.
Допустим, дано двоичное число 110001(2). Для перевода в десятичное запишите его как сумму по разрядам следующим образом:
1 * 25 + 1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 49
То же самое чуть иначе:
1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49
Можно записать это в виде таблицы следующим образом:
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 0 0 1
+32 +16 +0 +0 +0 +1
Двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 110001(2) равнозначно десятичному 49(10).
Нужно перевести число 1011010,101(2) в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:
1 * 26 + 0 * 25 + 1 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 + 1 * 2−1 + 0 * 2−2 + 1 * 2−3 = 90,625
То же самое чуть иначе:
1 * 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1 + 1 * 0,5 + 0 * 0,25 + 1 * 0,125 = 90,625
Или по таблице:
64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
1 0 1 1 0 1 0 , 1 0 1
+64 +0 +16 +8 +0 +2 +0 +0.5 +0 +0.125
Если в исходном числе есть целая часть, то она преобразуется отдельно от дробной. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:
Дробь умножается на основание двоичной системы счисления (2);
В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве старшего разряда числа в двоичной системе счисления;
Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над дробной частью произведения.
Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.
Перевод целой части дает 20610=110011102 по ранее описанным алгоритмам.
Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:
Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора,
В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде. Например, число −5(10) может быть записано как −101(2) но в 32-битном компьютере будет храниться как 11111111111111111111111111111011(2).